슈티펠-휘트니 특성류

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 정수 슈티펠-휘트니 특성류
- 2.2. 우 특성류
3. 구성
- 3.1. 톰 동형을 통한 구성
- 3.2. 무한 사영 공간을 통한 구성
4. 성질
5. 역사
참조

1. 개요

슈티펠-휘트니 특성류는 위상 공간 위의 실수 유한 차원 벡터 다발에 대한 특성류로, 다발의 가향성, 스핀 구조, 스핀C 구조 등의 존재에 대한 방해물로 작용한다. 이들은 직합의 분해, 당김, 계수, 규격화 조건을 만족하는 유일한 특성류로 정의되며, 톰 동형 또는 무한 사영 공간을 통해 구성할 수 있다. 슈티펠-휘트니 특성류는 스틴로드 대수와 밀접한 관련이 있으며, 우의 공식을 만족한다. 슈티펠-휘트니 수는 슈티펠-휘트니 특성류의 곱을 다양체의 기본류와 쌍대시켜 계산하며, 다양체의 코보디즘 불변량으로 작용한다. 슈티펠과 휘트니에 의해 처음 발견되었으며, 우원쥔은 우 특성류를 도입했다.

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슈티펠-휘트니 특성류
슈티펠-휘트니 특성류
구면의 호몰로지
분야
분야	대수적 위상수학
성질
정의	벡터 다발의 특성류
불변성	위상 불변
관련 개념	오일러 특성류 천 특성류 폰트랴긴 특성류
명명
이름의 유래	에두아르트 슈티펠, 해슬러 휘트니

2. 정의

위상 공간 $X$ 위의 실수 벡터 다발 $E$ 의 슈티펠-휘트니 특성류는 다음 네 가지 공리를 만족시키는 유일한 특성류 $w(E) \in H^\bullet(X; \mathbb{F}_2)$ 로 정의된다.

'''(계수)''' $w(E)\in\operatorname H^{\le\dim_{\mathbb R}E}(X)$ 이며, $w_0(E)=1$ 이다.
'''(규격화)''' 실수 사영 직선 $\mathbb{RP}^1$ 의 자명 선다발 $\mathcal O_{\mathbb{RP}^1}(-1)$ 의 슈티펠-휘트니 특성류는 자명하지 않다. 즉, $\mathbb{RP}^1$ 의 코호몰로지 환이 $\operatorname H^\bullet(\mathbb{RP}^1;\mathbb F_2)\cong\mathbb F_2[x]/(x^2)$ , $\deg x=1$ 이라면 $w(\mathcal O_{\mathbb{RP}^1}(-1))=1+x$ 이다.
'''(직합의 분해)''' 임의의 벡터 다발 $E, E'\twoheadrightarrow X$ 에 대하여, $w(E\oplus E')=w(E)\smile w(E')$
'''(당김)''' 임의의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $w(f^*E)=f^*w(E)$

이 네 조건들을 모두 만족시키는 특성류는 유일하게 존재한다.

실수 벡터 다발

E

에 대해,

E

의 슈티펠-휘트니 특성류는

w(E)

로 표기되며, 이는 코호몰로지 환의 원소이다.

:

H^\ast(X; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \bigoplus_{i\geq0} H^i(X; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})

여기서

X

는 다발

E

의 밑 공간이고,

\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

(또는

\mathbb{Z}_2

로 표기)는 0과 1만 갖는 가환환이다.

w(E)

의

H^i(X; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})

의 성분은

w_i(E)

로 표기되며, 이를

E

의

i

-번째 슈티펠-휘트니 특성류라고 부른다. 따라서,

:

w(E) = w_0(E) + w_1(E) + w_2(E) + \cdots

여기서 각

w_i(E)

는

H^i(X; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})

의 원소이다.

슈티펠-휘트니 특성류

w(E)

는 실수 벡터 다발

E

의 불변량이다. 즉,

F

가

E

와 같은 밑 공간

X

를 갖는 다른 실수 벡터 다발이고,

F

가

E

와 동형이면, 슈티펠-휘트니 특성류

w(E)

와

w(F)

는 같다.

예를 들어, 원

S^1

위에, 선 다발 (즉, 계수가 1인 실수 벡터 다발)이 존재하며, 이는 자명한 다발과 동형이 아니다. 이 선 다발

L

은 뫼비우스 띠이다. 코호몰로지 군

H^1(S^1; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})

은 0 외에 하나의 원소만 가지고 있으며, 이 원소는

L

의 첫 번째 슈티펠-휘트니 특성류

w_1(L)

이다.

S^1

위의 자명한 선 다발은 첫 번째 슈티펠-휘트니 특성류가 0이므로,

L

과 동형이 아니다.

동일한 슈티펠-휘트니 특성류를 갖는 두 실수 벡터 다발

E

와

F

가 반드시 동형인 것은 아니다. 예를 들어 2-구

S^2

의 접다발과

S^2

위의 계수가 2인 자명한 실수 벡터 다발은 동일한 슈티펠-휘트니 특성류를 갖지만, 동형이 아니다. 하지만

X

위의 두 실수 "선" 다발이 동일한 슈티펠-휘트니 특성류를 가지면, 그들은 동형이다.

2. 1. 정수 슈티펠-휘트니 특성류

아벨 군의 짧은 완전열

:

0\to\mathbb Z\to\mathbb Z\to\mathbb Z/2\to0

에 대한 복시테인 준동형

:

\beta\colon\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_2)\to\operatorname H^{\bullet+1}(X;\mathbb Z)

을 생각하자. 유한 차원 실수 벡터 다발

E\twoheadrightarrow X

의 '''정수 슈티펠-휘트니 특성류'''

\beta w

는 슈티펠-휘트니 특성류의, 이 복시테인 준동형에 대한 상이다.

:

\beta w(E)\in \operatorname H^{\le\dim_{\mathbb R}E+1}(X;\mathbb Z)

원소

\beta w_i \in H^{i+1}(X;\mathbf{Z})

는 ''i'' + 1 차 ''정수'' 슈티펠-휘트니 특성류라고 불리며, 여기서 β는 법 2에 대한 축소, '''Z''' → '''Z'''/2'''Z'''에 해당하는 복시테인 준동형이다.

:

\beta\colon H^i(X;\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) \to H^{i+1}(X;\mathbf{Z}).

예를 들어, 세 번째 정수 슈티펠-휘트니 특성류는 Spin^c 구조의 장애물이다.

2. 2. 우 특성류

우원준이 정의한 우 특성류는 총 스틴로드 제곱이 슈티펠-휘트니 특성류가 되는 코호몰로지류이다.^[3] 유한 차원 실수 벡터 다발

E\twoheadrightarrow X

의 우 특성류

W(E)

는 다음과 같이 표현된다.

:

W(E)\in\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_2)

:

w(E)=\operatorname{Sq}(W(E))=\sum_i\operatorname{Sq}^i(W(E))

여기서

w(E)

는 슈티펠-휘트니 특성류,

\operatorname{Sq}

는 스틴로드 제곱이다.

다양체 ''X''가 ''n''차원일 때, 차수

n-k

의 임의의 코호몰로지 클래스 ''x''에 대해 다음 식이 성립한다.^[4]

:

v_k \cup x = \operatorname{Sq}^k(x)

여기서

v_k

는 우 클래스이다.

3. 구성

슈티펠-휘트니 특성류는 여러 방법으로 구성할 수 있다.

분류 공간을 사용하여 구성하는 방법은 다음과 같다. 임의의 벡터 공간 ''V''에 대해, $Gr_n(V)$ 는 ''V''의 ''n''차원 선형 부분 공간으로 이루어진 그래스만 다양체를 나타내며, 무한 그래스만 다양체는 $Gr_n = Gr_n(\R^\infty)$ 로 나타낸다. 이 공간은 랭크 ''n''의 벡터 다발인 자명한 번들 $\gamma^n \to Gr_n$ 의 구조를 가지는데, 이는 점 $W \in Gr_n (V)$ 에서 ''W''로 표현되는 부분 공간을 섬유(fiber)로 갖는다.

$f\colon X \to Gr_n$ 을 무한 그래스만 다양체로의 연속 함수라고 하면, ''X'' 위의 맵 ''f''에 의해 유도된 번들 $f^*\gamma^n \in \mathrm{Vect}_n(X)$ 은 맵 [''f'']의 호모토피류에만 의존한다. 따라서 풀백(pullback) 연산은 호모토피 동치인 맵 $X \to Gr_n$ 집합 $[X; Gr_n]$ 에서 ''X'' 위의 랭크 ''n'' 벡터 번들의 동형류 집합 $\mathrm{Vect}_n(X)$ 으로의 사상을 제공한다.

''X''가 파라콤팩트 공간이면, 이 사상은 전단사가 된다. 이것이 무한 그래스만 다양체를 벡터 번들의 분류 공간이라고 부르는 이유이다.

선 다발의 경우, 위의 구성을 한정하여 ''X'' 위의 선 다발 공간 Vect₁(''X'')를 고려한다. 직선의 그래스만 다양체 ''Gr''₁는 무한차원 사영 공간 $\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R}) = \mathbf{R}^\infty/\mathbf{R}^*$ 이며, 이는 무한차원 초구 ''S''^∞에 의해 대척점적으로 이중 피복된다. 무한차원 초구 ''S''^∞는 축약 가능하므로, '''P'''^∞('''R''')는 아이렌베르크-매클레인 공간 K('''Z'''/2'''Z''', 1)이 된다.

3. 1. 톰 동형을 통한 구성

슈티펠-휘트니 특성류는 톰 동형을 사용하여 다음과 같이 구성할 수 있다.^[10]

n

차원 실수 벡터 다발

\pi\colon E\twoheadrightarrow X

이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

:

\operatorname H^i(E,E\setminus X;\mathbb F_2)=\begin{cases}0&i

또한,

\operatorname H^n(E,E\setminus X;\mathbb F_2)

속에 다음 조건을 만족시키는 유일한 코호몰로지류

\Phi\in\operatorname H^n(E,E\setminus X;\mathbb F_2)

가 존재한다.

모든 $x\in X$ 에 대하여, 올 $\pi^{-1}(x)$ 에 국한한 코호몰로지류 $\Phi|_{(\pi^{-1}(x),\pi^{-1}(x)\setminus\{x\})}\in\operatorname H^n(\pi^{-1}(x),\pi^{-1}(x)\setminus\{x\};\mathbb F_2)\cong\operatorname H^n(\mathbb R^n,\mathbb R^n\setminus\{0\};\mathbb F_2)\cong\operatorname H^n(\mathbb S^n;\mathbb F_2)\cong\mathbb F_2$ 는 0이 아니다.

이를 '''톰 특성류'''라고 한다.

그렇다면, 각종 코호몰로지 공간 사이에 다음과 같은 사상들을 정의할 수 있다.

:

\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_2)\xrightarrow{\pi^*}\operatorname H^\bullet(E;\mathbb F_2)\xrightarrow{\smile\Phi}\operatorname H^{\bullet+n}(E,E\setminus X;\mathbb F_2)

이 경우,

(\smile\Phi)\circ\pi^*

는

\mathbb F_2

벡터 공간의 동형 사상이다. 이를 '''톰 동형'''이라고 한다.

기본 코호몰로지류

\Phi

의 총 스틴로드 제곱

:

\operatorname{Sq}\Phi=\sum_i\operatorname{Sq}^i\Phi\in\operatorname H^{\ge n}(E,E\setminus X;\mathbb F_2)

를 생각하자. 그렇다면, 슈티펠-휘트니 특성류는 톰 특성류의 총 스틴로드 제곱의 톰 동형에 대한 원상이다.

:

w(E)=\left((\smile\Phi)\circ\pi^*\right)^{-1}(\operatorname{Sq}\Phi)

3. 2. 무한 사영 공간을 통한 구성

무한 사영 공간은 실수 선다발의 분류 공간이므로, 이를 이용하여 슈티펠-휘트니 특성류를 정의할 수 있다.

실수 선다발

L\twoheadrightarrow X

에 대응하는 연속 함수

f\colon X\to\operatorname{RP}^\infty

를 생각한다. 여기서

\operatorname{RP}^\infty

는 무한 사영 공간이다. 에일렌베르크-매클레인 공간의 성질에 따라,

\hom_{\operatorname{hTop}_\bullet}\left(X,\operatorname{RP}^\infty\right)\cong\operatorname H^1(X;\mathbb F_2)

이다.

실수 선다발

L

의 슈티펠-휘트니 특성류

w(L)=1+w_1(L)

는 다음과 같이 정의된다.

:

w_1(L)=[f]\in \operatorname H^1(X;\mathbb F_2)

여기서

[f]

는

f

의 호모토피류를 뜻한다.

무한 사영 공간은 에일렌베르크-매클레인 공간

\operatorname{RP}^\infty=K(\mathbb Z/2,1)

이다.

이 구성에서 중요한 사실은

X

가 파라콤팩트 공간인 경우,

[X; Gr_n]

에서

\mathrm{Vect}_n(X)

로의 사상은 전단사라는 것이다. 이것이 무한 그라스만 다양체를 벡터 다발의 분류 공간이라고 부르는 이유이다.

선 다발의 경우, 그라스만 다양체

Gr_1

은 무한 사영 공간

\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R}) = \mathbf{R}^\infty/\mathbf{R}^*

이다. 무한 사영 공간은 무한 구

S^{\infty}

로 이중 덮개가 되며, 대척점이 올로 작용한다. 무한 구

S^{\infty}

는 가약 공간이므로, 다음이 성립한다.

:

\begin{align}\pi_1(\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R})) &= \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \\\pi_i(\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R})) &= \pi_i(S^\infty) = 0 && i > 1\end{align}

따라서

\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R})

은 아이렌베르크-맥레인 공간

K(\Z/2\Z, 1)

이다.

아이렌베르크-맥레인 공간의 성질에 의해,

\left [X; \mathbf{P}^\infty(\mathbf{R}) \right ] = H^1(X; \Z/2\Z)

이다.

이에 따라 전단사 함수

:

w_1\colon \text{Vect}_1(X) \to H^1(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})

를 얻는다. 이것이 선 다발에 대한 슈티펠-휘트니 특성류

w_1

을 정의한다.

Vect₁(''X'')을 텐서곱 연산 아래의 군으로 간주하면, 슈티펠-휘트니 특성류는 동형사상이다. 즉 Vect₁(''X'') → ''H''¹(''X''; '''Z'''/2'''Z''')는 동형사상이며, 모든 선 다발 λ, μ → ''X''에 대해, ''w''₁(λ ⊗ μ) = ''w''₁(λ) + ''w''₁(μ)이다.

예를 들어, ''H''¹(''S''¹; '''Z'''/2'''Z''') = '''Z'''/2'''Z'''이므로, 원 위의 선 다발은 다발 동형사상까지 두 개뿐이다. 즉, 자명한 선 다발과 열린 뫼비우스 띠(경계가 제거된 뫼비우스 띠)이다.

복소 벡터 다발의 경우에도 같은 구성을 통해, 천 특성류가 ''X'' 위의 복소 선 다발과 ''H''²(''X''; '''Z''') 사이의 전단사 함수를 정의한다는 것을 보일 수 있다.

4. 성질

슈티펠-휘트니 특성류는 호모토피 동치에 대한 불변량이다. 이는 우 정리(吳定理, Wu’s theorem^영어)에 따른 것이다.^[5] 일반적으로 특성류는 매끄러움 구조나 복소구조에 의존하지만, 유리수 계수 폰트랴긴 특성류는 위상 다양체의 불변량으로, 매끄러움 구조에 의존하지 않는다. 그러나 이는 호모토피 동치에 대한 불변량이 아니다.

실수 벡터 다발 E의 슈티펠-휘트니 특성류는 w(E)로 표기하며, 코호몰로지 환의 원소이다.

: $H^\ast(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) = \bigoplus_{i\geq0} H^i(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$

여기서 X는 다발 E의 밑공간이며, Z/2Z는 0과 1만으로 이루어진 가환환이다. Hⁱ(X; Z/2Z) 안의 w(E)의 직합 성분은 w_i(E)로 표기하며, E의 i-번째 슈티펠-휘트니 특성류라고 부른다.

슈티펠-휘트니 특성류는 실수 벡터 다발의 불변량으로, 두 실수 벡터 다발이 동형이면 슈티펠-휘트니 특성류는 같다. 이를 통해 두 벡터 다발이 동형이 아님을 보일 수 있다. 예를 들어, 원 S¹ 상에, 자명 다발과 동형이 아닌 선형 다발인 뫼비우스 띠의 첫 번째 슈티펠-휘트니 특성류는 0이 아니므로, 자명 선형 다발과 동형이 아니다.

그러나, 같은 슈티펠-휘트니 특성류를 갖는 두 벡터 다발이 반드시 동형인 것은 아니다. 예를 들어, 2-구 S²의 접다발과 S² 위의 계수 2의 자명한 실수 벡터 다발은 같은 슈티펠-휘트니 특성류를 갖지만, 동형은 아니다.

슈티펠-휘트니 특성류 ''w''는 다음 공리계를 만족한다.

# '''정규화''': 실수 사영 공간 '''P'''¹('''R''') 상의 토톨로지 선다발의 휘트니 류는 자명하지 않다.

# '''랭크''': ''w''₀(''E'') = 1 ∈ ''H''⁰(''X'') 이고 ''E''의 랭크의 ''i''에 대해, $w_i = 0 \in H^i(X)$ 이다.

# '''휘트니 곱 공식''': $w(E\oplus F)= w(E) \smallsmile w(F)$ 이다. 즉, 직합의 휘트니 류는 합의 류의 컵 곱이다.

# '''자연성''': 임의의 실수 벡터 번들 ''E'' → ''X''와 사상 $f:X' \to X$ 에 대해, ''w''(''f*E'') = ''f*w''(''E'')이다. 여기서 ''f*E''는 당김 번들을 나타낸다.

사상 w₁ : Vect₁(X) → H¹(X; Z/2Z)가 전단사이지만, 해당 맵은 고차원에서는 주입적이지 않을 수 있다. 예를 들어 n이 짝수인 경우 접선 다발 TSⁿ을 생각해 보자. Sⁿ을 Rⁿ⁺¹에 정규적으로 임베딩하면, Sⁿ에 대한 법선 다발 ν는 선 다발이며, Sⁿ은 가향 가능하므로, ν는 자명하다. 합 TSⁿ ⊕ ν는 TRⁿ⁺¹의 Sⁿ으로의 제한인데, Rⁿ⁺¹이 수축 가능하므로 자명하다. 따라서 w(TSⁿ) = 1이다. 그러나 n이 짝수인 경우, TSⁿ → Sⁿ은 자명하지 않다. 그 오일러 지수는 0이 아니다.

4. 1. 방해물 이론

슈티펠-휘트니 특성류는 벡터 다발의 가향성, 스핀 구조, 스핀C 구조 등의 존재에 대한 방해물로 작용한다.

처음 몇 개의 슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같은 구조의 존재에 대한 방해물을 이룬다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발이 가향 벡터 다발일 필요충분조건은 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.
매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발이 스핀 구조를 가질 필요충분조건은 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.
매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발이 스핀C 구조를 가질 필요충분조건은 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이고, 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

특히, 다양체

M

이 가향 다양체일 필요충분조건은 그 접다발의 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다. 비슷하게, 다양체

M

이 스핀 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 그 접다발의 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다. 다양체

M

이 스핀C 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 가향 다양체이며 접다발의 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

에두아르트 슈티펠(Eduard Stiefel)과 하슬러 휘트니(Hassler Whitney)는 ''X''의 ''i''-스켈레톤에 제한된 벡터 다발의 모든 곳에서 선형 독립인 단면을 구성하기 위한 장애 이론(obstruction class)의 2를 법으로 하는 환원으로서 슈티펠-휘트니 특성류를 발견했다.

X

를 CW-복합체(CW complex)라고 하면, 휘트니는 트위스트된 계수를 갖는 ''X''의 ''i''번째 세포 코호몰로지 군 안의 클래스를 정의했다. 휘트니는, ''X''의 ''i''-스켈레톤에 제한했을 때 벡터 다발이 선형 독립 단면을 갖는다는 것이 특정 조건과 동치임을 증명했다.

4. 2. 슈티펠-휘트니 수

''n''차원 매끄러운 다양체에서, 총 차수가 ''n''인 슈티펠-휘트니 특성류의 모든 곱은 다양체의 '''Z'''/2'''Z'''-기본류와 쌍을 이루어 '''Z'''/2'''Z''' 원소, 즉 '''슈티펠-휘트니 수'''를 제공한다. 예를 들어, 다양체의 차원이 3이면

w_1^3, w_1 w_2, w_3

로 주어지는 세 개의 선형 독립적인 슈티펠-휘트니 수가 있다. 일반적으로, 다양체의 차원이 ''n''이면 가능한 독립적인 슈티펠-휘트니 수의 개수는 ''n''의 정수 분할의 개수와 같다.

매끄러운 다양체의 접다발의 슈티펠-휘트니 수는 다양체의 슈티펠-휘트니 수라고 불린다. 이는 코보디즘 불변량으로 알려져 있다. 레프 폰트랴긴은 ''B''가 경계가 ''M''과 같은 매끄러운 콤팩트한 (''n''+1)차원 다양체이면, ''M''의 슈티펠-휘트니 수는 모두 0이라고 증명했다.^[1]^[6] 또한, 르네 톰은 ''M''의 모든 슈티펠-휘트니 수가 0이면 ''M''은 어떤 매끄러운 콤팩트 다양체의 경계로 실현될 수 있다는 것을 증명했다.^[2]^[7]

수술 이론에서 중요한 슈티펠-휘트니 수 중 하나는 (4''k''+1)차원 다양체의 드람 불변량

w_2w_{4k-1}

이다.

4. 3. 스틴로드 대수와의 관계

스틴로드 대수 위에서, 매끄러운 다양체의 슈티펠-휘트니 특성류(접다발의 슈티펠-휘트니 특성류로 정의됨)는

w_{2^i}

형태의 특성류에 의해 생성된다. 특히, 슈티펠-휘트니 특성류는 우원준의 이름을 딴 '''우 공식'''을 만족한다.^[5]

:

Sq^i(w_j)=\sum_{t=0}^i {j+t-i-1 \choose t} w_{i-t}w_{j+t}.

슈티펠-휘트니 특성류 ''w_k''는 우원준(우원준)에 의해 정의된 '''우 류'''(Wu classes) ''v_k''의 Steenrod square|스티인로드 제곱^영어이다. 모든 슈티펠-휘트니 특성류는 모든 우 류의 모든 스틴로드 제곱 ''Sq''(''v'') = ''w''이다. 우 류는 항상 스틴로드 제곱의 항으로 스틴로드 제곱을 표현하는 코호몰로지류로 정의된다. 다양체 ''X''를 ''n''차원이라고 하면, 차수 ''n-k''의 코호몰로지류 ''x''에 대해,

v_k \cup x = Sq^k(x)

가 된다. 특히 좁게

\langle v_k \cup x, \mu\rangle = \langle Sq^k(x), \mu \rangle

를 요구하면, 다시, 차수 ''n-k''의 코호몰로지류 ''x''에 대해 동일하게 된다^[8]。

(접번들의 스티펠-휘트니류로 정의된) 매끄러운 다양체의 스티펠-휘트니류는

w_{2^i}

형태의 류에 의해 생성된다. 특히, 우원준의 이름을 딴 '''우 공식'''

:

Sq^i(w_j)=\sum_{t=0}^i {j+t-i-1 \choose t} w_{i-t}w_{j+t}.

을 만족한다.^[9]

5. 역사

에두아르트 슈티펠과 해슬러 휘트니가 슈티펠-휘트니 특성류를 발견하였고,^[11]^[12] 우원쥔이 우 특성류를 도입하였다.^[13]

슈티펠-휘트니 특성류 $w_i(E)$ 는 벡터 다발 $E$ 의, 모든 곳에서 선형 독립인 $n-i+1$ 개 단면을 구성하는 것에 대한 장애류의 mod-2 환원으로 정의된다. ( $n$ 은 벡터 다발의 섬유 차원)

휘트니는 CW-복합체 $X$ 에 대해, $E$ 섬유에 있는 $n-i+1$ 개의 선형 독립 벡터로 이루어진 슈티펠 다양체 $V_{n-i+1}(F)$ 의 $(i-1)$ 번째 호모토피 군을 계수로 갖는 $X$ 의 $i$ 번째 세포 코호몰로지 군에 속하는 클래스 $W_i(E)$ 를 정의했다. 그는 $X$ 의 $i$ -골격에 $E$ 를 제한했을 때 $n-i+1$ 개의 선형 독립 단면을 갖는 경우에만 $W_i(E)=0$ 임을 증명했다.

$\pi_{i-1}V_{n-i+1}(F)$ 가 무한 순환군이거나 $\Z/2\Z$ 와 동형이므로, $W_i(E)$ 는 슈티펠-휘트니 특성류 $w_i(E) \in H^i(X; \Z/2\Z)$ 로 환원된다. $\pi_{i-1}V_{n-i+1}(F) = \Z/2\Z$ 이면 두 클래스는 항상 같다. 따라서, 다발 $E\to X$ 가 가향 가능한 경우에만 $w_1(E) = 0$ 이다.

$w_0(E)$ 는 정의에 의해 1이므로 정보를 포함하지 않지만, 휘트니 합 공식 $w(E_1 \oplus E_2) = w(E_1)w(E_2)$ 가 성립하도록 하기 위해 도입되었다.

참조

_[1] 학술지 Characteristic cycles on differentiable manifolds
_[2] 서적 Characteristic Classes https://archive.org/[...] Princeton University Press
_[3] 학술지 Note sur les produits essentiels symétriques des espaces topologiques
_[4] 서적 Characteristic Classes https://archive.org/[...] Princeton University Press
_[5] 간행물 May
_[6] 학술지 Characteristic cycles on differentiable manifolds
_[7] 서적 Characteristic Classes Princeton University Press
_[8] 서적 Characteristic Classes Princeton University Press
_[9] 간행물 May
_[10] 저널 http://resolver.sub.[...] 2016-01-24
_[11] 저널 http://resolver.sub.[...]
_[12] 저널
_[13] 저널

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